[해설] 이항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 상금 지급 기금의 최대 지급액 분석

안녕하세요! 이항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:상금 지급 기금의 최대 지급액 분석

어떤 학교는 특정한 성취를 달성한 학생에게 상금$ (C)$를 지급하기 위해 120만원의 기금을 마련했습니다. 이 학교의 학생 20명 중 각 학생이 다음 해에 성취를 달성할 확률은 2%입니다. 서로 다른 학생이 성취를 달성하는 사건은 상호 독립적입니다.

기금이 모든 성취에 대한 지급을 충당하지 못할 확률이 1% 미만이 되도록 하는 $(C)$의 최대 값을 계산하세요.

문제 풀이

1.확률 변수 정의: 각 학생이 성취를 달성할 확률은 2%이므로, 이를 이항 분포로 나타낼 수 있습니다. 즉, 학생 20명이 성취를 달성하는 횟수 $X$는 $n = 20$과 $p = 0.02$인 이항 분포 $B(20, 0.02)$를 따릅니다.

2.기대값과 분산 계산:
이항 분포의 기대값과 분산은 다음과 같습니다:

• $E(X) = np = 20 \times 0.02 = 0.4$

• $Var(X) = np(1-p) = 20 \times 0.02 \times 0.98 = 0.392$

3.정규 분포로 근사:

• 이항 분포는 $n$이 크고 $p$가 작을 때 정규 분포로 근사할 수 있습니다. $X$는 평균 $0.4$, 분산 $0.392$인 정규 분포 $N(0.4, 0.392)$로 근사할 수 있습니다.

4. 기금이 부족할 확률 계산:
기금이 부족할 확률이 1% 미만이 되도록 하기 위해 $(C)$를 계산합니다. 한 사람이 받을 금액이 $(C)$이고, 최대 $(120 / C)$명의 학생에게 지급할 수 있으므로:

• $X \leq \frac{120}{C}$

이때, 기금이 부족할 확률이 1% 미만이 되도록 하기 위해:

• $P(X > \frac{120}{C}) < 0.01$

5.정규 분포를 이용한 계산:

정규 분포를 이용하여:

• $P\left(\frac{X – 0.4}{\sqrt{0.392}} > \frac{120/C – 0.4}{\sqrt{0.392}}\right) < 0.01$

표준 정규 분포의 값을 이용하여:

• $\frac{120/C – 0.4}{\sqrt{0.392}} \approx 2.33$

따라서:

• $120/C – 0.4 \approx 2.33 \times \sqrt{0.392}$
• $120/C \approx 2.33 \times \sqrt{0.392} + 0.4$

6.$(C)$ 값 계산:

계산을 통해 $(C)$ 값을 구합니다.

• $2.33 \times \sqrt{0.392} \approx 1.456$
• $120/C \approx 1.456 + 0.4 \approx 1.856$
• $C \approx \frac{120}{1.856} \approx 64.64$

따라서, C의 최대 값은 60이 되어야 합니다