[해설] 포아송 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 버스 도착 횟수의 분산 분석

안녕하세요! 포아송 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:버스 도착 횟수의 분산 분석

어떤 도시의 한 버스 정류장에서 버스가 도착하는 횟수는 포아송 분포를 따릅니다. 한 통계학자는 한 시간 동안 버스가 두 번 도착할 확률이 네 번 도착할 확률보다 세 배 높다는 것을 발견했습니다.

한 시간 동안 버스가 도착하는 횟수의 분산을 계산하세요.

문제 풀이

포아송 분포는 사건의 발생 횟수 $k$가 평균 발생률 $\lambda$에 의해 결정되는 확률 분포입니다.$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$로 주어집니다.

1. 조건 해석:
   두 번의 도착 확률이 네 번의 도착 확률의 세 배라는 것을 이용합니다.

• $P(X = 2) = 3 \cdot P(X = 4)$

포아송 분포의 확률 질량 함수 $(PMF)$를 사용하여 이를 표현하면:

• $\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$

2. 식 정리:

양변에서 $e^{-\lambda}$를 제거하고 식을 정리하면:

• $\frac{\lambda^2}{2} = 3 \cdot \frac{\lambda^4}{24}$
• $\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{8}$

양변에 8을 곱하면:

• $4\lambda^2 = \lambda^4$
• $\lambda^4 – 4\lambda^2 = 0$
• $\lambda^2 (\lambda^2 – 4) = 0$

따라서, $\lambda^2 = 4$에서 $\lambda = 2$입니다. (포아송 분포에서 $\lambda = 0$일 수 없습니다.)

4. 분산 계산:
포아송 분포에서 평균과 분산은 모두 $\lambda$입니다. 따라서 분산은 $\lambda = 2$입니다.

따라서, 한 시간 동안 버스가 도착하는 횟수의 분산은 2입니다.