[해설] 기계 수리 비용 분석: 총 수리 비용이 90,000원 미만일 확률 계산

안녕하세요! 기계 수리 비용 분석 해설입니다.

문제:총 수리 비용이 90,000원 미만일 확률 계산

어떤 공장에는 여섯 대의 기계가 있으며, 이 기계들은 각각 매년 독립적으로 70%의 확률로 고장이 나지 않습니다. 기계가 고장이 날 경우, 수리 시간은 평균 3시간인 기하 분포를 따릅니다. 서로 다른 기계의 수리 시간은 상호 독립적입니다.

각 수리 시간당 비용은 30,000원입니다.

공장의 연간 총 수리 비용이 90,000원 미만일 확률을 계산하세요.(소수 셋째 자리에 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 확률 계산 및 모형 설정

• 각 기계가 고장이 나지 않을 확률은 0.70입니다.
• 고장이 날 경우, 수리 시간은 평균 3시간인 기하 분포로 모델링됩니다.

기하 분포의 평균이 3시간이라면, 성공 확률 $p$는 다음과 같습니다:

• $E(X) = \frac{1}{p} = 3 \implies p = \frac{1}{3}$
  

기하 분포에서 1시간 수리일 확률은 $\frac{1}{3}$ , 2시간 수리일 확률은 $\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9} $입니다.

2. 각 시나리오에 대한 확률 계산

6대의 기계가 있으며, 연간 수리 비용이 90,000원 미만이 되기 위한 시나리오는 다음과 같이 네 가지입니다:

• 시나리오 1: 수리 필요가 없는 경우 (비용 = 0원)
• 시나리오 2: 한 대의 기계가 1시간 수리를 하는 경우 (비용 = 30,000원)
• 시나리오 3: 한 대의 기계가 2시간 수리를 하는 경우 (비용 = 60,000원)
• 시나리오 4: 두 대의 기계가 각각 1시간 수리를 하는 경우 (비용 = 60,000원)

각 시나리오에 대한 확률을 계산합니다.

2-1. 시나리오 1: 수리 필요가 없는 경우

• $P({$비용$} = 0) = (0.70)^6 = 0.117649$

2-2. 시나리오 2: 한 대의 기계가 1시간 수리를 하는 경우

• $P($비용$ = 30,000) = \binom{6}{1} (0.30) (0.70)^5 \left(\frac{1}{3}\right) = 6 \times 0.30 \times 0.16807 \times \frac{1}{3} = 0.1016$

2-3. 시나리오 3: 한 대의 기계가 2시간 수리를 하는 경우

• $P($비용$ = 60,000) = \binom{6}{1} (0.30) (0.70)^5 \left(\frac{2}{9}\right) = 6 \times 0.30 \times 0.16807 \times \frac{2}{9} = 0.0677$

2-4. 시나리오 4: 두 대의 기계가 각각 1시간 수리를 하는 경우

• $P($비용$ = 60,000) = \binom{6}{2} (0.30)^2 (0.70)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 15 \times (0.30)^2 \times (0.70)^4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 0.0567$

총 수리 비용이 90,000원 미만이 될 확률은 위 네 가지 시나리오의 확률을 모두 더한 값입니다.

• $P($총 비용$ < 90,000) = 0.117649 + 0.1016 + 0.0677 + 0.0567 = 0.3436$

따라서, 공장의 연간 총 수리 비용이 90,000원 미만일 확률은 약 0.34입니다.