[해설] 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제: 도서관 월별 방문자 수 확률 분석

안녕하세요! 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:도서관 월별 방문자 수 확률 분석

한 도서관의 월별 방문자 수는 N이라는 랜덤 변수로 모델링되며, 음수가 아닌 정수 n에 대해 다음과 같이 주어집니다.

• $P[N = n] = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

이때 특정 월에 적어도 한 명의 방문자가 있을 확률을 계산하시오. 단, 그 월에는 최대 4명의 방문자가 있었다고 가정합니다.

문제 풀이

각 방문자 수 $( n )$의 확률 계산:

• $P[N=0] = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2} $
• $P[N=1] = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} $
• $P[N=2] = \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{12} $
• $P[N=3] = \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{20} $
• $P[N=4] = \frac{1}{5 \times 6} = \frac{1}{30}$

전체 방문자 수 $(n \leq 4)$의 확률 계산:

• $P[N \leq 4] = P[N=0] + P[N=1] + P[N=2] + P[N=3] + P[N=4] $
• $=\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{5}{6}$

적어도 한 명의 방문자가 있는 확률 $n > 0$ 계산:

• $P[N > 0 | N \leq 4] = \frac{P[N > 0 \text{ and } N \leq 4]}{P[N \leq 4]} = \frac{P[N=1] + P[N=2] + P[N=3] + P[N=4]}{P[N \leq 4]}$

여기서 $N > 0 \text{ and } N \leq 4$는 $1 \leq N \leq 4$와 동일합니다. 따라서 분자는 1에서 4까지의 확률을 합한 것이 됩니다.분모는 0에서 4까지의 확률을 합한 것입니다.

• $P[N > 0 \text{ and } N \leq 4] = P[N=1] + P[N=2] + P[N=3] + P[N=4] $
• $= \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$
• $P[N \leq 4] = P[N=0] + P[N=1] + P[N=2] + P[N=3] + P[N=4] $
• $= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$

따라서,

• $\frac{P[N > 0 \text{ and } N \leq 4]}{P[N \leq 4]} = \frac{10+5+3+2}{30+10+5+3+2} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$

따라서 주어진 조건 하에서 적어도 한 명의 방문자가 있을 확률은 $\frac{2}{5}$ 입니다.