[해설] 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제 : 음식점 체인의 지출 보고서에서 노동 비용 포함 확률 분석

안녕하세요! 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:음식점 체인의 지출 보고서에서 노동 비용 포함 확률 분석

음식점 체인은 각 지점에서 발생하는 지출 보고서 중 85%가 식재료 비용 또는 노동 비용을 포함하고 있습니다. 지출 보고서 중 식재료 비용이 포함되지 않는 보고서의 비율은 전체의 25%입니다.

식재료 비용의 발생이 노동 비용의 발생과 독립적이라고 가정할 때, 지출 보고서에 노동 비용이 포함될 확률을 계산하시오.

문제 정보 요약

1. 식재료 또는 노동 비용을 포함하는 지출 보고서 비율: $P(A \cup B) = 0.85$ (여기서 A 는 식재료 비용, B 는 노동 비용)
2. 식재료 비용이 포함되지 않는 보고서의 비율: $P(A^c) = 0.25$

문제 풀이

1. 식재료 비용이 포함될 확률 :
   • 식재료 비용이 포함되지 않는 보고서가 전체의 25%이므로, 식재료 비용이 포함된 보고서의 확률은 $P(A) = 1 – P(A^c) = 0.75$
2. 노동 비용이 포함된 지출 보고서의 확률을 구하기 위한 접근 :
   • 식재료 비용과 노동 비용의 발생은 독립적이므로,$ P(A \cap B) = P(A)P(B)$이 성립합니다.
   • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$ 공식을 사용합니다.
3. 식재료와 노동 비용을 포함한 수식:
   • $0.85 = 0.75 + P(B) – 0.75P(B)$
   • $0.25P(B) = 0.10$
   • $P(B) = \frac{0.10}{0.25} = 0.40$

이를 바탕으로 지출 보고서에 노동 비용이 포함될 확률은 0.40, 40%입니다.