[해설] 드모르간 법칙을 이용한 확률 계산 연습문제: 대학 클럽 활동 참여 확률 분석

안녕하세요! 드모르간 법칙을 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제 : 대학 클럽 활동 참여 확률 분석

대학교에서 학생들의 클럽 활동 참여를 분석하고 다음과 같은 정보를 수집했습니다

1. 모든 학생은 적어도 하나의 클럽에 참여합니다.
2. 학생의 70%가 두 개 이상의 클럽에 참여합니다.
3. 20%의 학생이 스포츠 클럽에 참여합니다.
4. 두 개 이상의 클럽에 참여하는 학생 중 15%가 스포츠 클럽에 참여합니다.

이 정보를 바탕으로, 임의로 선택된 학생이 정확히 하나의 클럽에만 참여하고 그 클럽이 스포츠 클럽이 아닐 확률을 계산하세요.

문제 정보 요약:

• $P(M)$ : 학생이 두 개 이상의 클럽에 참여하는 확률 (0.7)
• $P(S )$: 학생이 스포츠 클럽에 참여하는 확률 (0.2)
• $P(S|M)$ : 두 개 이상의 클럽에 참여하는 학생 중 스포츠 클럽에 참여하는 확률 (0.15)

문제 풀이

임의로 선택된 학생이 정확히 하나의 클럽에만 참여하고 그 클럽이 스포츠 클럽이 아닐 확률은 $P(M^c \cap S^c)$로 표현할 수 있습니다.

1. $P(M \cap S)$ 계산 :
   • $P(S|M) = 0.15$
   • $P(M^c \cap S^c) = P(S|M) \times P(M) = 0.15 \times 0.7 = 0.105 $
2. 드모르간의 법칙 적용:
   • $P(M \cup S)$ 계산:
   • $P(M \cup S) = P(M) + P(S) – P(M \cap S) = 0.7 + 0.2 – 0.105 = 0.795$
   • $P(M^c \cap S^c) = 1 – P(M \cup S) = 1-0.795 = 0.205$

따라서, 임의로 선택된 학생이 정확히 하나의 클럽에만 참여하고 그 클럽이 스포츠 클럽이 아닐 확률은 20.5%입니다.