[해설] 공공 자전거 대여 연습문제: 자전거가 최소 4시간 동안 대여된 상태로 있을 확률 계산

안녕하세요! 공공 자전거 대여 연습문제 해설입니다.

문제:자전거가 최소 4시간 동안 대여된 상태로 있을 확률 계산

어떤 도시의 공공 자전거 대여 시스템에서 자전거가 대여된 후 반환되기까지 걸리는 시간은 중앙값이 3시간인 지수 분포를 따릅니다. 자전거가 최소 4시간 동안 대여된 상태로 있을 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1.중앙값을 이용하여 $\theta$ 구하기:

지수 분포의 분포 함수는 $ F(t) = 1 – e^{-t/\theta} ), t > 0$ 입니다.

중앙값이 3시간이므로:

$0.5 = F(3) = 1 – e^{-3/\theta}$

따라서:

$0.5 = 1 – e^{-3/\theta}$

$e^{-3/\theta} = 0.5$

$\ln(0.5) = \ln(1/2) = \ln(1) – \ln(2) = 0 – \ln(2) = -\ln(2)$이므로:

$-\frac{3}{\theta} = \ln(0.5) = -\ln(2)$

따라서:

$\theta = \frac{3}{\ln(2)}$

2. 자전거가 최소 4시간 동안 대여된 상태로 있을 확률 구하기:

$P(T \geq 4) = 1 – F(4) = 1 – (1 – e^{-4/\theta}) = e^{-4/\theta}$

여기서 $\theta = \frac{3}{\ln(2)}$를 대입하면:

$P(T \geq 4) = e^{-4/(\frac{3}{\ln(2)})} = e^{-4 \cdot \frac{\ln(2)}{3}} = e^{-\frac{4}{3} \ln(2)}$

$P(T \geq 4) = (e^{\ln(2)})^{-\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{4}{3}}$

3. 계산:

$2^{-\frac{4}{3}} = \left(2^{-1}\right)^{\frac{4}{3}} = 0.5^{\frac{4}{3}}$

이 값을 계산하면:

$0.5^{\frac{4}{3}} \approx 0.396$

따라서, 자전거가 최소 4시간 동안 대여된 상태로 있을 확률은 약 0.396입니다