[해설] 지수 분포를 이용한 기대 지급액 계산 연습문제: 학업 지원금 지급액 분석

안녕하세요! 지수 분포를 이용한 기대 지급액 계산 연습문제 해설입니다.

문제:학업 지원금 지급액 분석

한 학생이 학업 지원금을 신청했습니다. 학업 지원금의 지급 여부는 다음과 같은 확률 분포를 따릅니다. 학업 지원금은 첫 10년 동안만 유효하며, 평균 10년 후에 학업을 마칩니다. 첫 1년 이내에 학업을 마치면 $x$만큼의 지원금을 지급하고, 2년차 또는 3년차에 마치면 0.5$x$만큼의 지원금을 지급합니다. 3년 이후에 학업을 마치면 지원금은 지급되지 않습니다.

이 학업 지원금의 기대 지급액이 1000이 되도록 하는 $x$ 값을 계산하세요.

문제 풀이

학생이 학업을 마치는 시간 $T$ 는 평균 10년인 지수 분포를 따릅니다. 지수 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

• $f_T(t) = \frac{1}{\lambda} e^{-t/\lambda}$

여기서 $\lambda = 10$이므로:

• $f_T(t) = \frac{1}{10} e^{-t/10}$

기대 지급액 $E[$지급액$]$ 를 계산하기 위해, $(T)$가 1년 이하일 경우와 2년 또는 3년일 경우로 나누어 생각합니다.

1. $(T \leq 1)$일 경우: 지급액은 $(x)$
2. $(1 < T \leq 3)$일 경우: 지급액은 $(0.5x)$
3. $(T > 3)$일 경우: 지급액은 0

확률 계산:

1.$P(T \leq 1)$

• $P(T \leq 1) = \int_0^1 f_T(t) \, dt = \int_0^1 \frac{1}{10} e^{-t/10} \, dt = \left[ -e^{-t/10} \right]_0^1 = 1 – e^{-1/10}$

2.$P(1 < T \leq 3)$

• $P(1 < T \leq 3) = \int_1^3 f_T(t) \, dt = \int_1^3 \frac{1}{10} e^{-t/10} \, dt = \left[ -e^{-t/10} \right]_1^3 = e^{-1/10} – e^{-3/10}$

3.$P(T > 3)$

• $P(T > 3) = \int_3^\infty f_T(t) \, dt = \int_3^\infty \frac{1}{10} e^{-t/10} \, dt = \left[ -e^{-t/10} \right]_3^\infty = e^{-3/10}$

기대값 계산:

기대값 $E[$지급액$]$ 는 다음과 같이 구할 수 있습니다:

$E[$지급액$] = x \cdot P(T \leq 1) + 0.5x \cdot P(1 < T \leq 3)$

확률을 대입하여 계산하면:

$E[$지급액$] = x \cdot (1 – e^{-1/10}) + 0.5x \cdot (e^{-1/10} – e^{-3/10})$

이 기대값이 1000이 되도록 $x$를 구해야 합니다:

• $x \cdot (1 – e^{-1/10}) + 0.5x \cdot (e^{-1/10} – e^{-3/10}) = 1000$
• $x \left( (1 – e^{-1/10}) + 0.5(e^{-1/10} – e^{-3/10}) \right) = 1000$
• $x \left( 1 – e^{-1/10} + 0.5e^{-1/10} – 0.5e^{-3/10} \right) = 1000$
• $x \left( 1 – 0.5e^{-1/10} – 0.5e^{-3/10} \right) = 1000$

여기서,$ e^{-1/10} \approx 0.9048$ 와 $e^{-3/10} \approx 0.7408$ 을 대입하면:

• $x \left( 1 – 0.5 \times 0.9048 – 0.5 \times 0.7408 \right) = 1000$
• $x \left( 1 – 0.4524 – 0.3704 \right) = 1000$
• $x \left( 0.1772 \right) = 1000$
• $x = \frac{1000}{0.1772} \approx 5643$

따라서, 답은 5643입니다.