[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제: 시험 점수가 특정 점수보다 낮을 확률 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:시험 점수가 특정 점수보다 낮을 확률 분석

한 강의의 시험 점수는 (0, 40) 구간에서 연속 분포를 가지며 확률 밀도 함수 $f(x)$는 해당 구간에서 $(10 + x)^{-2} $에 비례합니다.

학생의 시험 점수가 6점보다 낮을 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1.확률 밀도 함수 $f(x) $정의: $f(x)$가 $(10 + x)^{-2} $에 비례한다고 주어졌으므로, $f(x) = k(10 + x)^{-2} $로 쓸 수 있습니다. 여기서 $k$는 정규화 상수입니다.

2.정규화 상수 ( k ) 계산:
$f(x)$가 확률 밀도 함수이기 때문에 0에서 40 까지의 적분 값이 1이어야 합니다.

• $\int_0^{40} k(10 + x)^{-2} \, dx = 1$

이를 계산합니다.

• $k \int_0^{40} (10 + x)^{-2} \, dx = k \left[ -\frac{1}{10 + x} \right]_0^{40} = k \left( -\frac{1}{50} + \frac{1}{10} \right) = k \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{50} \right) $
• $= k \left( \frac{5}{50} – \frac{1}{50} \right) = k \left( \frac{4}{50} \right) = \frac{2k}{25}$

따라서,

• $\frac{2k}{25} = 1 \implies k = \frac{25}{2}$

따라서, 확률 밀도 함수는

• $f(x) = \frac{25}{2}(10 + x)^{-2}$

3. 학생의 시험 점수가 6점보다 낮을 확률 계산:

• $P(X < 6) = \int_0^6 \frac{25}{2}(10 + x)^{-2} \, dx$

• $= \frac{25}{2} \left[ -\frac{1}{10 + x} \right]_0^6 = \frac{25}{2} \left( -\frac{1}{16} + \frac{1}{10} \right)$

• $= \frac{25}{2} \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{16} \right) = \frac{25}{2} \left( \frac{16 – 10}{160} \right) = \frac{25}{2} \left( \frac{6}{160} \right) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{80} = \frac{75}{160} = \frac{15}{32} \approx 0.47$

따라서, 학생의 시험 점수가 6점보다 낮을 확률은 약 0.47입니다. 정답은 0.47입니다.