[해설] 지수 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 화학 반응 확률 분석

안녕하세요! 지수 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:화학 반응 확률 분석

어떤 화학 반응이 실험 시작부터 완료되기까지 걸리는 시간은 지수 분포를 따릅니다. 연구팀은 이러한 반응 중 30%가 실험 시작 후 첫 50분 이내에 완료된다는 것을 관찰했습니다.

첫 80분 이내에 완료될 것으로 예상되는 반응의 비율을 계산하세요.

문제 풀이

1. 지수 분포의 파라미터 $\lambda$ 계산

• 지수 분포에서 $P(T \leq t) = 1 – e^{-\lambda t}$입니다.
• 주어진 정보에서$ P(T \leq 50) = 0.30$이므로,
• $0.30 = 1 – e^{-50\lambda}$

양변에서 1을 빼고, 부호를 바꾸면:

• $e^{-50\lambda} = 0.70$

양변의 자연 로그를 취하면:

• $-50\lambda = \ln(0.70)$

따라서:

• $\lambda = -\frac{\ln(0.70)}{50}$

2. 첫 80분 이내에 완료될 확률 계산:

앞서 구한 $\lambda$ 값을 이용하여, 첫 80분 이내에 완료될 확률 $P(T \leq 80)$을 계산합니다.

• $P(T \leq 80) = 1 – e^{-80\lambda}$

$\lambda = -\frac{\ln(0.70)}{50}$을 대입하면:

• $P(T \leq 80) = 1 – e^{-80 \left( -\frac{\ln(0.70)}{50} \right)}$
• $P(T \leq 80) = 1 – e^{80 \cdot \frac{\ln(0.70)}{50}}$
• $P(T \leq 80) = 1 – e^{\frac{8}{5} \ln(0.70)}$
• $P(T \leq 80) = 1 – (0.70)^{\frac{8}{5}}$

3. 최종 값 계산:

• $0.70^{\frac{8}{5}} = 0.70^{1.6}$

계산기로 값을 구하면:

• $0.70^{1.6} \approx 0.5648$

따라서:

• $P(T \leq 80) = 1 – 0.5648 = 0.4352$

따라서 첫 80분 이내에 완료될 것으로 예상되는 반응의 비율은 약 0.435입니다