[해설] 마을 우물 분석: 성공적 물 얻기 확률 계산

안녕하세요! 마을 우물 분석 해설입니다.

문제:성공적 물 얻기 확률 계산

한 마을에서, 주민들이 물을 얻기 위해 여러 개의 우물을 사용합니다. 각 우물은 물이 잘 나오는 “풍부한 우물” 또는 물이 잘 나오지 않는 “고갈된 우물”로 분류됩니다. 주민들은 우물의 상태를 알 수 없으며, 무작위로 우물을 선택해야 합니다. 주민이 선택한 우물이 풍부한 우물이라면 성공적으로 물을 얻을 수 있습니다. 각 고갈된 우물의 면적은 다음과 같이 주어집니다:

$R_i = \left( \frac{2}{3} \right)^I$
여기서 $( R_i )$는 $( i )$번째 고갈된 우물의 면적입니다.

주민이 물을 성공적으로 얻을 확률이 25% 미만이 되기 위해 필요한 최소한의 고갈된 우물 수를 계산하세요.

문제 풀이

1. 고갈된 우물의 총 면적을 계산합니다.

2. 고갈된 우물의 총 면적이 75% 이상이 되도록 필요한 최소 고갈된 우물의 수를 찾습니다.

고갈된 우물의 총 면적 $( S )$는 다음과 같습니다:

• $S = \sum_{i=1}^{n} R_i = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{3} \right)^I$

이 합은 무한 등비급수의 합 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 하지만, 우리는 이 합이 75% 이상이 되는 최소 $( n )$을 찾아야 하므로, 부분 합을 사용해야 합니다.

무한 등비급수의 합 공식은 다음과 같습니다:

• $\sum_{i=0}^{\infty} ar^i = \frac{a}{1-r}$

여기서 $( a = \left( \frac{2}{3} \right) )$이고, $( r = \left( \frac{2}{3} \right) )$입니다.

부분 합 $( S_n )$은 다음과 같습니다:

• $S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{2}{3} \right)^I$

이를 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

• $S_n = \frac{\left( \frac{2}{3} \right) (1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n)}{1 – \left( \frac{2}{3} \right)} = \frac{\left( \frac{2}{3} \right) (1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n)}{\frac{1}{3}} = 2 (1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n)$

이 값이 0.75 이상이 되어야 합니다:

• $2 (1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n) \geq 0.75$

이를 풀기 위해, 먼저 좌변을 단순화합니다:

• $1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n \geq \frac{0.75}{2}$
  $1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n \geq 0.375$
  $\left( \frac{2}{3} \right)^n \leq 0.625$

이제 양변의 로그를 취합니다:

• $n \log \left( \frac{2}{3} \right) \leq \log (0.625)$
• $n \leq \frac{\log (0.625)}{\log \left( \frac{2}{3} \right)}$

이를 계산합니다:

• $\log (0.625) \approx -0.2041$
  $\log \left( \frac{2}{3} \right) \approx -0.1761$
  $n \leq \frac{-0.2041}{-0.1761} \approx 1.16$

따라서 주민이 물을 성공적으로 얻을 확률이 25% 미만이 되려면 최소 2개의 고갈된 우물이 필요합니다.