[해설] 책 대출 상태 확률 분포: 6권 중 3권 대출 중일 확률 계산

안녕하세요! 책 대출 상태 확률 분포 해설입니다.

문제: 6권 중 3권 대출 중일 확률 계산

한 대학 도서관에는 100권의 책이 있으며, 그 중 40권은 수학 서적이고 나머지는 물리 서적입니다. 수학 서적 중 30%는 대출 중이고, 물리 서적 중 20%는 대출 중입니다.

도서관에서 복원하지 않고 6권의 책을 선택했을 때, 그 중 정확히 3권이 대출 중일 확률을 계산하십시오.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 대출 중인 책 개수 계산:

• 수학 서적: 40권 중 30%가 대출 중이므로, $(40 \times 0.30 = 12)$ 권이 대출 중.
• 물리 서적: 60권 중 20%가 대출 중이므로, $(60 \times 0.20 = 12)$ 권이 대출 중.
• 따라서, 총 대출 중인 책 개수는 $(12 + 12 = 24)$ 권입니다.

2. 조건 설정:

• 총 책 개수 $(N = 100)$
• 대출 중인 책 개수 $(D = 24)$
• 대출되지 않은 책 개수 $(G = 76)$
• 선택한 책 개수 $(n = 6)$
• 대출 중인 책의 원하는 개수 $(k = 3)$

3. 확률 계산:
복원하지 않고 선택하는 경우이므로, 초기하 분포를 사용합니다. 초기하 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다:

• $P(X = k) = \frac{\binom{D}{k} \binom{N-D}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

여기서, $\binom{N}{k}$는 이항 계수입니다.

4. 계산 수행:

• $P(X = 3) = \frac{\binom{24}{3} \binom{76}{3}}{\binom{100}{6}}$

각 이항 계수를 계산합니다:

• $\binom{24}{3} = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024$
  
• $\binom{76}{3} = \frac{76!}{3!(76-3)!} = \frac{76 \times 75 \times 74}{3 \times 2 \times 1} = 70300$
  
• $\binom{100}{6} = \frac{100!}{6!(100-6)!} = \frac{100 \times 99 \times 98 \times 97 \times 96 \times 95}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1192052400$

그러므로 확률은

• $P(X = 3) = \frac{2024 \times 70300}{1192052400} \approx 0.119$

따라서, 정답은 0.12 입니다.