본 포스팅은 비전공자를 위한 통계공부 Best 300제 1번 문제 해설입니다. 통계 공부 Best 300제 시리즈를 통하여 독자들이 통계공부에 대한 두려움을 극복하고, 데이터 분석의 세계로 한 발짝 더 다가서길 바랍니다.

문제 1번 – 포함배제의 원리

지난해 한 슬통 방송국은 시민들의 드라마 시청 습관에 대한 설문조사를 진행하였습니다. 결과는 다음과 같습니다.

  • 28%가 ‘무한도전’ 드라마를 봤습니다.
  • 29%가 ‘황금빛 내 인생’ 드라마를 봤습니다.
  • 19%가 ‘사랑의 불시착’ 드라마를 봤습니다.
  • ‘무한도전’과 ‘황금빛 내 인생’ 두 드라마 모두를 14%가 봤습니다.
  • ‘황금빛 내 인생’과 ‘사랑의 불시착’ 두 드라마 모두를 12%가 봤습니다.
  • ‘무한도전’과 ‘사랑의 불시착’ 두 드라마 모두를 10%가 봤습니다.
  • 세 드라마 모두를 8%가 봤습니다.

지난해 이 세 드라마 중 어느 것도 보지 않은 사람의 비율은 얼마일까요?

정답 및 해설

확률론에서 배우는 포함배제 원리를 연습하는 문제입니다. 우선 주어진 정보를 이용하여 각 사건을 정의하겠습니다.

  • A: ‘무한도전’을 본 사람
  • B: ‘황금빛 내 인생’을 본 사람
  • C: ‘사랑의 불시착’을 본 사람

지난해 이 세 드라마 중 어느 것도 보지 않은 사건의 확률은 다음과 같이 전체 확률에서 세 사건의 합사건에 대한 확률을 뺀 것으로 바꿔 표현 할 수 있습니다.

\begin{align*}
&P(A^c \cap B^c \cap C^c) \\
&= 1 - P(A \cup B \cup C)
\end{align*}

P(A \cup B \cup C)를 구하기 위하여 포함배제 원리 (Inclusion-Exclusion Principle)을 적용하여 계산합니다.

\begin{align*}
&P(A \cup B \cup C) \\
&= P(A) + P(B) + P(C) \\
&- P(A \cap B) - P(A \cap C) \\
&- P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)
\end{align*}

이 원칙을 사용하면,

\begin{align*}
&P(A \cup B \cup C) \\
&= 0.28 + 0.29 + 0.19 \\
& - 0.14 - 0.12 - 0.10 + 0.08 \\ 
&= 0.48
\end{align*}

따라서,

P(A^c \cap B^c \cap C^c) \\
= 1 - 0.48 = 0.52

결과적으로, 지난해 이 세 드라마 중 어느 것도 보지 않은 사람의 비율은 52\%입니다.

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